Capítulo 21. Las bases genéticas de la evolución

Un estado estacionario: el equilibrio de Hardy-Weinberg

A principios del siglo XX, los genetistas comenzaban a comprender las leyes de la herencia § y el origen de nueva variabilidad a partir de la mutación §. Sin embargo, dado que la evolución § es un proceso que se desarrolla a través del tiempo, era necesario indagar cómo se comportaba la variabilidad presente en una población § a través de las generaciones. Si en una población existen, por ejemplo, dos alelos § para una misma característica que están presentes en una determinada proporción y en ciertas combinaciones genotípicas §, ¿se modificará esta proporción en la siguiente generación, luego del proceso de reproducción sexual §?

Esta pregunta fue respondida, en 1908, por G. H. Hardy, un matemático inglés, y por G. Weinberg, un médico alemán. Trabajando de manera independiente, Hardy y Weinberg mostraron que las combinaciones que resultan del proceso de apareamiento y reproducción que ocurre en cada generación en los organismos diploides § no involucran un cambio en la composición general del reservorio génico §. Para demostrar esto, propusieron un modelo teórico que permite examinar el comportamiento de los alelos en una po-blación ideal en la cual rigen cinco condiciones: 1) No ocurren mutaciones §; 2) no hay desplazamiento neto de individuos con sus genes § hacia el interior de la población (inmigración) o hacia afuera (emigración); 3) la población es lo suficientemente grande como para que se apliquen las leyes de la probabilidad; o sea, es altamente improbable que el azar, por sí mismo, pueda alterar la frecuencia de los alelos; 4) el apareamiento entre individuos es al azar y 5) no hay diferencia en el éxito reproductivo de los genotipos § considerados, es decir, que el llevar diferentes combinaciones alélicas no confiere ventaja a sus portadores. La progenie de todos los apareamientos posibles tiene la misma probabilidad de sobrevivir y reproducirse en la generación siguiente.

Si se considera un único gen con sólo dos alelos, A y a, se puede demostrar matemáticamente que si se cumplen las cinco condiciones mencionadas previamente, entonces las frecuencias, o proporciones relativas, de los alelos A y a en la población no cambiarán de una generación a otra. Más aun, la frecuencia de los tres genotipos posibles de estos alelos -los genotipos AA, Aa y aa- no cambiarán de una generación a la si-guiente. El reservorio génico estará en un estado estacionario -en un equilibrio- con respecto a estos alelos. Así, la ecuación de Hardy-Weinberg establece que en una población ideal, en la cual se cumplan las cinco condiciones planteadas por el modelo, ni las frecuencias alélicas ni las frecuencias genotípicas cambian de una generación a otra.

La relación entre la frecuencia del alelo a en la población y la frecuencia de los genotipos AA, Aa y aa.

Naturalmente, cuantos más AA haya, menor será la frecuencia de a. Dadas las interrelaciones de los alelos en los genotipos: AA, Aa y aa, un cambio en la frecuencia de uno u otro alelo da como resultado un cambio correspondiente, y simétrico, en las frecuencias del otro alelo y de los genotipos.

Considérese un único gen que tiene sólo dos alelos, A y a. Hardy y Weinberg demostraron matemáticamente que si se cumplen las cinco condiciones mencionadas previamente, entonces las frecuencias, o proporciones relativas, de los alelos A y a en la población no cambiarán de una generación a otra. Más aun, la frecuencia de los tres genotipos posibles de estos alelos -los genotipos AA, Aa y aa- no cambiarán de una generación a la siguiente. El reservorio génico estará en un estado estacionario -en un equilibrio- con respecto a estos alelos. Este equilibrio se expresa con la siguiente ecuación:

p² + 2pq + q²= 1

En esta ecuación, la letra p designa la frecuencia de un alelo y la letra q designa la frecuencia del otro, la suma de p y q siempre debe ser igual a l (o sea, p + q representa el 100% de los alelos de ese gen particular en el reservorio génico). La expresión p² designa la frecuencia de individuos homocigóticos para un alelo, q² es la frecuencia de individuos homocigóticos para el otro alelo, y 2pq es la frecuencia de heterocigotos.

Derivación de la ecuación de Hardy-Weinberg

Para comprender de qué manera Hardy y Weinberg obtuvieron su ecuación y demostraron el equilibrio de las frecuencias alélicas y genotípicas en una población que cumplía con las cinco condiciones establecidas, observemos más de cerca el comportamiento del gen con sólo dos alelos, A y a. Nos interesan las frecuencias relativas -o sea, las proporciones- de A (p) y a (q) de una generación a la siguiente. Como notamos arriba, cuando hay sólo dos alelos, la suma de p y q debe igualar a la unidad: p + q = 1.

Por ejemplo, supongamos que, en una población particular, el 80% de los alelos del gen en estudio es del tipo A. La frecuencia de A es 0,8, o p = 0,8. Dado que hay sólo dos alelos, sabemos entonces que la frecuencia del alelo a es 0,2 (q = 1 - p).

Supongamos que las frecuencias relativas de A y a son iguales tanto en los machos como en las hembras (como ocurre con la mayoría de los alelos en las poblaciones naturales). Supongamos ahora que los machos y las hembras se aparean al azar con respecto al hecho de ser portadores de los alelos A y a. Podemos calcular las frecuencias de los genotipos resultantes dibujando un tablero de Punnett. Como puede verse en la figura anterior, las proporciones de los genotipos en la población, producida por este apareamiento al azar, serán 64% AA, 32% Aa y 4% aa.

En lugar de dibujar un tablero de Punnett, podemos hacer lo mismo de manera algebraica. Dado que p + q= 1, se sigue que:

(p+ q) x (p+ q) = 1 x 1 = 1

o, como se recordará probablemente del álgebra:

p²+ 2pq + q² = 1

Esta expresión algebraica de las frecuencias genotípicas es la ecuación de Hardy-Weinberg.

Apliquemos esta explicación al apareamiento al azar que había ocurrido en nuestra población. Tomando los valores iniciales para la frecuencia de los dos alelos, obtenemos los siguientes resultados:

p² = 0,8 x 0,8 = 0,64 (la frecuencia de los genotipos AA)

2 pq= 2 x 0,8 x 0,2 = 0,32 (la frecuencia de los genotipos Aa)

q² = 0,2 x 0,2 = 0,04 (la frecuencia de los genotipos aa)

¿Qué ha ocurrido con la frecuencia de los dos alelos en el reservorio génico como resultado de esta ronda de apareamientos? Sabemos, por nuestros cálculos, que la frecuencia AA es 0,64. Además, la mitad de los alelos en los heterocigotos Aa son A, de modo que la frecuencia total del alelo A es 0,64 más la mitad de 0,32 (o sea, 0,64 más 0,16), lo cual totaliza 0,8. La frecuencia (p) del alelo A no ha cambiado. De modo semejante, la frecuencia total del alelo a es 0,04 (en los homocigotos) más 0,l6 (la mitad de los alelos en los heterocigotos) o sea 0,2. La frecuencia (q) del alelo a también ha permanecido constante.

Si ocurre otra ronda de apareamientos, la proporción de genotipos AA, Aa y aa en nuestra población será nuevamente de 64%, 32% y 4%, respectivamente. Nuevamente, la frecuencia del alelo A será 0,8, y la del alelo a 0,2. Y así sucesivamente, generación tras generación. En una población ideal, en la cual se cumplan las cinco condiciones planteadas por el modelo, ni las frecuencias alélicas ni las frecuencias genotípicas cambian de una generación a otra.

El equilibrio de Hardy-Weinberg y su formulación matemática han sido un valiosísimo fundamento para la genética de poblaciones. A primera vista, esto parece difícil de comprender, dado que es prácticamente imposible que las cinco condiciones requeridas por el modelo para que el equilibrio se mantenga se cumplan en una población natural.

Si bien las frecuencias de los alelos en las poblaciones naturales siempre están cambiando, sin la ecuación de Hardy-Weinberg no sabríamos cómo detectar el cambio, determinar su magnitud y dirección, o describrir las fuerzas que lo determinan. Sin embargo, si podemos identificar el genotipo de los individuos de una población, podremos estimar las frecuencias génicas y comparar estos datos con el modelo de Hardy-Weinberg. Si hacemos esto durante varias generaciones, podemos representar con exactitud en un gráfico los cambios que están ocurriendo en el reservorio génico y, en función de ello, investigar las causas.

La amplitud de la variabilidad

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